动态规划-分割类问题

分割类问题也算是动态规划的常客。对于字符类问题，状态转移方式往往依赖于相邻的位置。

0-1背包问题，状态方程不仅依赖于相邻的位置，还依赖于满足条件的空间位置。

对于分割类型题，动态规划的状态转移方程通常并不依赖相邻的位置，而是依赖于满足分割条件的位置。

题目 91. 解码方法

一条包含字母 A-Z 的消息通过以下映射进行了 编码 ：

‘A’ -> “1”
‘B’ -> “2”
…
‘Z’ -> “26”
要 解码 已编码的消息，所有数字必须基于上述映射的方法，反向映射回字母（可能有多种方法）。例如，”11106” 可以映射为：

“AAJF” ，将消息分组为 (1 1 10 6)
“KJF” ，将消息分组为 (11 10 6)
注意，消息不能分组为 (1 11 06) ，因为 “06” 不能映射为 “F” ，这是由于 “6” 和 “06” 在映射中并不等价。

给你一个只含数字的 非空 字符串 s ，请计算并返回 解码 方法的 总数 。

题目数据保证答案肯定是一个 32 位 的整数。

示例 1：

输入：s = “12”
输出：2
解释：它可以解码为 “AB”（1 2）或者 “L”（12）。

解法

class Solution:
    def numDecodings(self, s: str) -> int:
        # 处理边界条件
        if s[0] == '0':
            return 0
        
        # dp[i] 表示前i个字符串，最多可以有多少种解码方法
        m = len(s)
        dp = [0 for _ in range(m + 1)]
        
        # 空字符串可以有 1 种解码方法，解码出一个空字符串。
        dp[0] = 1
        dp[1] = 1
        
        for i in range(2, m + 1):
            if s[i - 1] != '0':
                dp[i] = dp[i - 1]
            if 10 <= int(s[i - 2:i]) <= 26:
                dp[i] += dp[i - 2]
        
        return dp[m]

题目 279. 完全平方数

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

输入：n = 12
输出：3
解释：12 = 4 + 4 + 4
示例 2：

输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9

解法

class Solution:
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        # 定义 dp[i] 为数字 i 需要的完全平方数的最小数量
        dp = [999999 for _ in range(n + 1)]
        dp[0] = 0
        
        # 当前 i 的值，仅依赖于 i - k^2，比如 i - 4、i - 9 、 i - 16
        for i in range(1, n + 1):
            # 可以取到 i
            for j in range(1, i + 1):
                if j * j > i:
                    break
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)
        return dp[n]

题目 139. 单词拆分

给你一个字符串 s 和一个字符串列表 wordDict 作为字典。请你判断是否可以利用字典中出现的单词拼接出 s 。

注意：不要求字典中出现的单词全部都使用，并且字典中的单词可以重复使用。

示例 1：

输入: s = “leetcode”, wordDict = [“leet”, “code”]
输出: true
解释: 返回 true 因为 “leetcode” 可以由 “leet” 和 “code” 拼接成。

示例 3：

输入: s = “catsandog”, wordDict = [“cats”, “dog”, “sand”, “and”, “cat”]
输出: false

class Solution:
    def wordBreak(self, s: str, wordDict: List[str]) -> bool:
        m = len(s)
        
        # 定义 dp[i] 为前 i 个字符是否可以用字典拼出结果
        dp = [False for _ in range(m + 1)]
        dp[0] = True
        
        for i in range(1, m + 1):
            for word in wordDict:
                # 当前 i 的值，仅依赖于 i - word
                if i - len(word) >= 0:
                    if s[i - len(word):i] == word:
                        dp[i] = dp[i] or dp[i - len(word)]
        
        return dp[m]