CS224n_Assignment_1

assignment1/index.html 第一次作业笔记,对应代码使用Jupyter实现参考链接

Softmax

softmax常数不变性

$softmax(x_i) = \frac{e^{x_i} }{\sum_j{e^{x_j} }}$

$\begin{align} (softmax(x + c)){i}= \frac{e^{x{i} + c} }{\sum{j} e^{x{j} + c} } = \frac{e^{x{i} } \times e^{c} }{e^{c} \times \sum{j} e^{x{j} }} \nonumber \ = \frac{e^{x{i} } \times {e^{c} }}{ {e^{c} } \times \sum{j} e^{x{j} }} = (softmax(x))_{i} \nonumber \end{align}$

由于$e^{x+y}=e^x * e^y$,因此多余的$e^c$可以上下消除,于是:
这里

$softmax(x) = softmax(x + c)$

发现了一个Softmax非常好的性质,即使两个数都很大比如 10001001,其结果与 12的结果相同,即其只关注数字之间的差,而不是差占的比例。

实现

之所以介绍Softmax常数不变性,是因为发现给定的测试用例非常大,直接计算$e^x$次方会比较不可行。

Python实现代码

神经网络基础

梯度检查

Python实现

这里的random.setstate(rndstate)非常重要,因为后续会用到,主要部分为:

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x[ix] += h
random.setstate(rndstate)
new_f1 = f(x)[0]
x[ix] -= 2*h
random.setstate(rndstate)
new_f2 = f(x)[0]
x[ix] += h
numgrad = (new_f1 - new_f2) / (2 * h)

Sigmoid导数

定义$\sigma(x)$如下,发现$\sigma(x) + \sigma(-x) = 1$。

即: $\sigma’ = \sigma(x) \times (1-\sigma(x)) $

交叉熵定义

当使用交叉熵作为评价指标时,求梯度:

  • 已知: $\hat{y} = softmax(\theta)$
  • 交叉熵: $CE(y,\hat{y}) = - \sum_i{y_i \times log(\hat{y_i})}$

其中$\boldsymbol{y}$是指示变量,如果该类别和样本的类别相同就是1,否则就是0。因为y一般为one-hot类型。

而$\hat{y_i}$ 表示每种类型的概率,概率已经过softmax计算。

对于交叉熵其实有多重定义的方式,但含义相同:

分别为:

二分类定义

$\begin{align}J = −[y\cdot log(p)+(1−y)\cdot log(1−p)]\end{align} \$

  • y——表示样本的label,正类为1,负类为0
  • p——表示样本预测为正的概率

多分类定义

$\begin{align}J = -\sum{c=1}^My{c}\log(p_{c})\end{align} \$

  • y——指示变量(0或1),如果该类别和样本的类别相同就是1,否则是0;
  • p——对于观测样本属于类别c的预测概率。

但表示的意思都相同,交叉熵用于反映 分类正确时的概率情况

Softmax导数

进入解答:

  • 首先定义$S_i$和分子分母。

$Si = softmax(\theta) = \frac{f_i}{g_i} = \frac{e^{\theta_i} }{\sum^{k}{k=1}e^{\theta_k} }$

  • $S_i$对$\theta_j$求导:

    $\begin{align} \frac{\partial{Si} }{\partial{\theta_j} } &= \frac{f_i’g_i - f_ig_i’}{g_i}\ &=\frac{(e^{\theta_i})’\sum^{k}{k=1}e^{\thetak} - e^{\theta_i}(\sum^{k}{k=1}e^{\thetak})’}{(\sum^{k}{k=1}e^{\theta_k})^2}\end{align}$

注意: $S_i$分子是$\theta_i$ ,分母是所有的$\theta$ ,而求偏微的是$\theta_j$ 。

  • 因此,根据i与j的关系,分为两种情况:
  • 当 $ i == j$ 时:
$f_i' = e^{\theta_i}$,$g_i' = e^{\theta_j}$ 



$\begin{align} \frac{\partial{S_i} }{\partial{\theta_j} } &=\frac{e^{\theta_i}\sum^{k}_{k=1}e^{\theta_k} - e^{\theta_i}e^{\theta_j} }{(\sum^{k}_{k=1}e^{\theta_k})^2} \\ &= \frac{e^{\theta_{i} }}{\sum_{k} e^{\theta_{k} }} \times \frac{\sum_{k} e^{\theta_{k} } – e^{\theta_{j} }}{\sum_{k} e^{\theta_{k} }} \nonumber \\  &= S_{i} \times (1 – S_{i})   \end{align}$
  • 当$i \not= j $时:
$f'_{i} = 0 $,$g'_{i} = e^{\theta_{j} }$ 



$\begin{align}  \frac{\partial{S_i} }{\partial{\theta_j} } &= \frac{0 – e^{\theta_{j} } e^{\theta_{i} }}{(\sum_{k} e^{\theta_{k} })^{2} }  \\&= – \frac{e^{\theta_{j} }}{\sum_{k} ^{\theta_{k} }} \times \frac{e^{\theta_{i} }}{\sum_{k} e^{\theta_{k} }} \\ &=-S_j \times S_i\end{align}$

交叉熵梯度

计算$\frac{\partial{CE} }{\partial{\theta_i} }$ ,根据链式法则,$\frac{\partial{CE} }{\partial{\theta_i} } = \frac{\partial{CE} }{\partial{S_i} }\frac{\partial{S_i} }{\partial{\theta_j} }$

  • $\hat{y} = softmax(\theta)$

  • $CE(y,\hat{y}) = - \sum_k{y_k log(\hat{y_k})}$

    $\begin{align} \frac{\partial CE}{\partial \theta{i} } &= – \sum{k} y{k} \frac{\partial log S{k} }{\partial \theta{i} } \&= – \sum{k} y{k} \frac{1}{S{k} } \frac{\partial S{k} }{\partial \theta{i} } \ &= – y{i} (1 – S{i}) – \sum{k \ne i} y{k} \frac{1}{S{k} } (-S{k} \times S{i}) \ &= – y{i} (1 – S{i}) + \sum{k \ne i} y{k} S{i} \ &= S{i}(\sum{k} y{k}) – y{i}\end{align}$

因为$\sum{k} y{k}=1$,所以$\frac{\partial CE}{\partial \theta_{i} } = S_i - y_i = \hat{y} - y$

反向传播计算神经网络梯度

根据题目给定的定义:

已知损失函数$J = CE$,$h = sigmoid(xW_1+b_1)$, $\hat{y} = softmax(hW_2+b_2)$

求$\frac{\partial{J} }{\partial{x} }$,$\frac{\partial{J} }{\partial{W_2} }$,$\frac{\partial{J} }{\partial{W1} }$,$\frac{\partial{J} }{\partial{b2} }$,$\frac{\partial{J} }{\partial{b_1} }$

解答:

反向传播,定义$z_2 = hW_2 + b_2$, $z_1 = xW_1 + b_1$:

对于输出层$\hat{y}$来说,$\hat{y}$的输入为 $z_2 = hW_2+b_2$,而输出则为 $\hat{y} = softmax(z_2)$

上小节计算得到 $CE(y,\hat{y}) = - \sumk{y_k log(\hat{y_k})}$ 的梯度为 $\frac{\partial CE}{\partial \theta{i} } = \hat{y} - y$,

可以使用 $z_2$ 替代 $\theta_i$ ,得到

  • $\delta_1 = \frac{\partial{CE} }{\partial{z_2} } = \hat{y} - y$

  • $\begin{align} \delta_2 = \frac{\partial{CE} }{\partial{h} } = \frac{\partial{CE} }{\partial{z_2} } \frac{\partial{z_2} }{\partial{h} } = \delta_1W_2^T \end{align}$

  • $\begin{align}\delta_3 = \frac{\partial{CE} }{z_1} = \frac{\partial{CE} }{\partial{h} }\frac{\partial{h} }{\partial{z_1} } = \delta_2 \frac{\partial{h} }{\partial{z_1} }= \delta_2 \circ \sigma’(z_1)\end{align}$ # 推测这里使用点乘的原因是$\delta_2 $经过计算后,应该是一个标量,而不是向量。

  • 于是得到:$\frac{\partial{CE} }{\partial{x} }=\delta_3\frac{\partial{z_1} }{\partial{x} } = \delta_3W_1^T $

与计算$\frac{\partial{CE} }{\partial{x} }$相似,计算

  • $\frac{\partial{CE} }{\partial{W_2} } = \frac{\partial{CE} }{\partial{z_2} }\frac{\partial{z_2} }{\partial{W_2} }=\delta_1 \cdot h$
  • $\frac{\partial{CE} }{\partial{b_2} } = \frac{\partial{CE} }{\partial{z_2} }\frac{\partial{z_2} }{\partial{b_2} }=\delta_1$
  • $\frac{\partial{CE} }{\partial{W_1} } = \frac{\partial{CE} }{\partial{z_1} }\frac{\partial{z_1} }{\partial{W_1} }=\delta_3 \cdot x$
  • $\frac{\partial{CE} }{\partial{b_1} } = \frac{\partial{CE} }{\partial{z_1} }\frac{\partial{z_1} }{\partial{b_1} }=\delta_3$

参数数量

$\begin{align} n{W{1} } &= D{x} \times H \ n{b{1} } &= H \ n{W{2} } &= H \times D{y} \ n{b{2} } &= D{y} \ N &= (D{x} \times H) + H + (H \times D{y}) + D{y} \ &=(D_x+1)\times H+(H+1)\times D_y \end{align}$

代码实现

如果仍然对反向传播有疑惑

word2vec

关于词向量的梯度

在以softmax为假设函数的word2vec中

$\boldsymbol{v}_{c}$是中央单词的词向量

$\boldsymbol{u}_{w}$ ($w = 1,…,W$) 是第 $w$个词语的词向量。

假设使用交叉熵作为损失函数, $\boldsymbol{o}$ 为正确单词 (one-hot向量的第 $\boldsymbol{o}$维为1),请推导损失函数关于$\boldsymbol{v}_c$的梯度。

提示:

$\begin{align}J{softmax-CE}(\boldsymbol{o}, \boldsymbol{v}{c}, \boldsymbol{U}) = CE(\boldsymbol{y}, \hat{\boldsymbol{y} })\end{align}$

其中$\boldsymbol{U}$ = $[\boldsymbol{u}{1}$,$\boldsymbol{u}{1}$,$\dots$, $\boldsymbol{u}_{W}]$是所有词向量构成的矩阵。

解答:

首先明确本题给定的模型是skip-gram ,通过给定中心词,来发现周围词的。

定义$z=U^T \cdot v_c$ ,$U$ 表示所有词向量组成的矩阵,而$v_c$ 也表示的是一个词向量。

hint: 如果两个向量相似性越高,则乘积也就越大。想象一下余弦夹角,应该比较好明白。

因为$U$中所有的词向量,都和$v_c$乘一下获得$z$。

$z$是干嘛用的呢? $z$内就有W个值,每个值表示和$v_c$ 相似程度,通过这个相似度$softmax$选出最大值,然后与实际对比,进行交叉熵的计算。

已知: $\frac{\partial z}{\partial v_c} = U$ 和 $\frac{\partial J}{\partial \boldsymbol{z} } = (\hat{\boldsymbol{y} } -\boldsymbol{y})$

因此:$\frac{\partial J}{\partial{v_c} } =\frac{\partial J}{\partial \boldsymbol{z} } \frac{\partial z}{\partial v_c} = U(\hat{\boldsymbol{y} } -\boldsymbol{y})$


除了上述表示之外,还有另一种计算方法

于是: $\frac{\partial J}{\partial{vc} } = -u_i + \sum^{W}{w=1}\hat{y_w}u_w$

仔细观察这两种写法,会发现其实是一回事,都是 观察与期望的差($\hat{y} - y$)。

推导lookup-table梯度

与词向量相似

$\frac{\partial J}{\partial{U} } =\frac{\partial J}{\partial \boldsymbol{z} } \frac{\partial z}{\partial U} = v_c(\hat{\boldsymbol{y} } -\boldsymbol{y})^{T}$

代码实现

softmaxCostAndGradient

负采样时的梯度推导

假设进行负采样,样本数为$\boldsymbol{K}$,正确答案为$\boldsymbol{o}$,那么有$o \notin {1,…,K}$。负采样损失函数定义如下:

其中:

$\begin{align}\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x} } \nonumber \= \frac{e^{x} }{1 + e^{x} } \nonumber \end{align}$

$\frac{\partial}{\partial x} \sigma(x) = \sigma(x) \times (1 - \sigma(x)) $

解答:

首先说明一下,$J_{neg-sample}$从哪里来的,参考note1 第11页,会有一个非常详细的解释。

$\begin{align} \frac{\partial J}{\partial vc}&=\left(\sigma(u_o^Tv_c)-1\right)u_o-\sum{k=1}^K\left(\sigma(-u_k^Tv_c)-1\right)u_k\ \frac{\partial J}{\partial u_o}&=\left(\sigma(u_o^Tv_c)-1\right)v_c\ \frac{\partial J}{\partial u_k}&=-\left(\sigma(-u_k^Tv_c)-1\right)v_c\ \end{align}$

代码实现

negSamplingCostAndGradient

全部梯度

推导窗口半径$m$的上下文[word${c−m}$ ,…,word${c−1}$ ,word${c}$ ,word${c+1}$ ,…,word${c+m}$ ]时,skip-gram 和 CBOW的损失函数$F(\boldsymbol{o}, \boldsymbol{v}{c})$ ($\boldsymbol{o}$ 是正确答案的词向量)或说$J{softmax-CE}(\boldsymbol{o},\boldsymbol{v}{c},\dots)$ 或 $J{neg-sample}(\boldsymbol{o},\boldsymbol{v}{c},\dots)$ 关于每个词向量的梯度。

对于skip-gram来讲,$c$的上下文对应的损失函数是:

$\begin{align} J{skip-gram}(word{c-m \dots c+m})= \sum\limits{-m \leq j \leq m, j \ne 0} F(\boldsymbol{w}{c+j}, \boldsymbol{v}_{c})\end{align}$

这里 $\boldsymbol{w}_{c+j}$ 是离中心词距离$j$的那个单词。

而CBOW稍有不同,不使用中心词$\boldsymbol{v}_{c}$而使用上下文词向量的和$\hat{\boldsymbol{v} }$作为输入去预测中心词:

$\begin{align} \hat{\boldsymbol{v} } = \sum\limits{-m \leq j \leq m, j \ne 0} \boldsymbol{v}{c+j}\end{align}$

然后CBOW的损失函数是:

$\begin{align} J{CBOW}(word{c-m \dots c+m})= F(\boldsymbol{w}_{c}, \hat{\boldsymbol{v} })\end{align}$

解答:

根据前面的推导,知道如何得到梯度$\begin{align} \frac{\partial J}{\partial \boldsymbol{vc} } = \boldsymbol{U}^{T} (\hat{\boldsymbol{y} } - \boldsymbol{y}) \nonumber \end{align}$和$\begin{align} \frac{\partial J}{\partial \boldsymbol{U} } = \boldsymbol{v}{c} (\hat{\boldsymbol{y} } - \boldsymbol{y})^{T} \nonumber \end{align}$。那么所求的梯度可以写作:

skip-gram

$\begin{align} \frac{J{skip-gram}(word{c-m \dots c+m})}{\partial \boldsymbol{U} } &= \sum\limits{-m \leq j \leq m, j \ne 0} \frac{\partial F(\boldsymbol{w}{c+j}, \boldsymbol{v}{c})}{\partial \boldsymbol{U} } \nonumber \ \frac{J{skip-gram}(word{c-m \dots c+m})}{\partial \boldsymbol{v}{c} } &= \sum\limits{-m \leq j \leq m, j \ne 0} \frac{\partial F(\boldsymbol{w}{c+j}, \boldsymbol{v}{c})}{\partial \boldsymbol{v}{c} } \nonumber \ \frac{J{skip-gram}(word{c-m \dots c+m})}{\partial \boldsymbol{v}_{j} } &= 0, \forall j\ne c \nonumber\end{align}$

CBOW

$\begin{align} \frac{J{CBOW}(word{c-m \dots c+m})}{\partial \boldsymbol{U} }& = \frac{\partial F(\boldsymbol{w}{c}, \hat{\boldsymbol{v} })}{\partial \boldsymbol{U} } \nonumber \ \frac{J{CBOW}(word{c-m \dots c+m})}{\partial \boldsymbol{v}{j} } &= \frac{\partial F(\boldsymbol{w}{c}, \hat{\boldsymbol{v} })}{\partial \hat{\boldsymbol{v} }}, \forall (j \ne c) \in {c-m \dots c+m} \nonumber \ \frac{J{CBOW}(word{c-m \dots c+m})}{\partial \boldsymbol{v}{j} } &= 0, \forall (j \ne c) \notin {c-m \dots c+m} \nonumber\end{align}$

代码实现

补充部分

  • 矩阵的每个行向量的长度归一化

    1
    x = x/np.linalg.norm(x,axis=1,keepdims=True)
  • 在斯坦福情感树库上训练词向量

    直接运行q3_run即可

情感分析

特征向量

最简单的特征选择方法就是取所有词向量的平均

1
2
3
4
5
sentence_index = [tokens[i] for i in sentence]
for index in sentence_index:
sentVector += wordVectors[index, :]

sentVector /= len(sentence)

正则化

1
values = np.logspace(-4, 2, num=100, base=10)

调参

1
bestResult = max(results, key= lambda x: x['dev'])

惩罚因子对效果的影响

confusion matrix

关联性排序的一个东西,对角线上的元素越多,预测越准确。

代码参考

q4_sentiment.ipynb

作者

mmmwhy

发布于

2019-05-02

更新于

2021-05-30

许可协议