三种背包问题
背包问题主要分为三种：
- 0-1 背包问题：
- 定义：给你一个可装载重量为
W 的背包和 N 个物品，每个物品有重量和价值两个属性。其中第 i 个物品的重量为 wt[i]，价值为 val[i]，现在让你用这个背包装物品，最多能装的价值是多少？
- 变种的子集背包问题定义：给一个可装载重量为
sum / 2 的背包和 N 个物品，每个物品的重量为 nums[i]。现在让你装物品，是否存在一种装法，能够恰好将背包装满？
- 完全背包问题：
- 定义：0-1 背包问题中，每个物品最多可以装一次。完全背包中，所有物品的数量是无限的。
- 因为物品的数量没有限制，因此使用基于贪心策略来做。 循环判断「剩余空间下可容纳的最高性价比物品」，并加入背包。
0-1背包问题
给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
示例 1：
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| 输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。
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解法
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| class Solution:
def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
nums_sum = sum(nums)
half_sum = nums_sum // 2
if half_sum * 2 != nums_sum:
return False
m = len(nums)
dp = [[False for _ in range(half_sum + 1)] for _ in range(m + 1)]
for i in range(m + 1):
dp[i][0] = True
for i in range(1, m + 1):
for j in range(1, half_sum + 1):
if j < nums[i - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
else:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - nums[i - 1]])
return dp[m][half_sum]
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给你一个整数数组 nums 和一个整数 target 。
向数组中的每个整数前添加 ‘+’ 或 ‘-‘ ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：
例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 ‘+’ ，在 1 之前添加 ‘-‘ ，然后串联起来得到表达式 “+2-1” 。
返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。
示例 1：
输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3
解法
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| class Solution:
def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
if sum(nums) < abs(target) or (sum(nums) + target) % 2 == 1:
return 0
return self.subset(nums, (sum(nums) + target) // 2)
def subset(self, nums, target):
m = len(nums)
dp = [[0 for _ in range(target + 1)] for _ in range(m + 1)]
dp[0][0] = 1
for i in range(1, m + 1):
for j in range(0, target + 1):
if j < nums[i - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
else:
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i - 1]]
return dp[m][target]
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有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。
每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：
- 如果
x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
- 如果
x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。
最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。
示例 1：
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| 输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。
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解法
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| class Solution:
def lastStoneWeightII(self, stones: List[int]) -> int:
"""
题目可以抽象为：石头重量之间进行 +、- 符号的组合， 使用最后的结果最小。
记：石头的总重量为 sum、+ 的石头总重量为 pos、 - 的石头总重量为 neg：
-> pos = sum - neg
-> pos - neg = sum - 2 * neg
-> sum - 2 * neg 取最小值时，满足题目要求。
-> 为满足题目要求， neg 需要在不超过 sum/2 的前提下，尽可能的大。
-> 最终题目转化为，在 stones 在 sum/2 最多可以占用的空间
"""
m = len(stones)
total = sum(stones)
n = total // 2
dp = [[False for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)]
for i in range(m + 1):
dp[i][0] = True
for i in range(1, m + 1):
for j in range(1, n + 1):
if j < stones[i - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
else:
dp[i][j] = dp[i - 1][j] or dp[i - 1][j - stones[i - 1]]
ans = None
for j in range(n, -1, -1):
if dp[m][j]:
ans = total - 2 * j
break
return ans
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完全背包问题
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。
请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。
假设每一种面额的硬币有无限个。
示例 1：
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| 输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1
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解法
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| class Solution:
def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
m = len(coins)
dp = [[0 for _ in range(amount + 1)] for _ in range(m + 1)]
for i in range(m + 1):
dp[i][0] = 1
for i in range(1, m + 1):
for j in range(1, amount + 1):
if j - coins[i - 1] < 0:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
else:
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i - 1]]
return dp[m][amount]
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